Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” al cual se debe elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:

1. Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, donde la base es 10.
3. Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

• La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
• si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 · 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da la siguiente expresión: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido “x” está bajo el signo logarítmico. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver una desigualdad, tanto el rango aceptable Los valores y los puntos se determinan rompiendo esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

1. La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
3. El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, conviene averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a una forma general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturales, es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

1. La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más sencilla del examen), sino también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Se toman ejemplos y soluciones a problemas de las versiones oficiales del Examen Estatal Unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

• Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
• Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

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Logaritmo de un número dado se llama exponente al que se debe elevar otro número, llamado base logaritmo para obtener este número. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 100 es 2. En otras palabras, se debe elevar 10 al cuadrado para obtener 100 (10 2 = 100). Si norte– un número dado, b– base y yo– logaritmo, entonces segundo l = norte. Número norte también llamado antilogaritmo base b números yo. Por ejemplo, el antilogaritmo de 2 en base 10 es igual a 100. Esto se puede escribir en forma de registro de relaciones bn = yo y antilogaritmo bl = norte.

Propiedades básicas de los logaritmos:

Cualquier número positivo distinto de uno puede servir como base para los logaritmos, pero lamentablemente resulta que si b Y norte son números racionales, entonces en casos raros existe un número tan racional yo, Qué segundo l = norte. Sin embargo, es posible definir un número irracional. yo, por ejemplo, tal que 10 yo= 2; este es un numero irracional yo puede aproximarse con cualquier precisión requerida mediante números racionales. Resulta que en el ejemplo dado yo es aproximadamente igual a 0,3010, y esta aproximación del logaritmo en base 10 de 2 se puede encontrar en tablas de logaritmos decimales de cuatro dígitos. Los logaritmos de base 10 (o logaritmos de base 10) se utilizan con tanta frecuencia en los cálculos que se denominan común logaritmos y se escribe como log2 = 0,3010 o log2 = 0,3010, omitiendo la indicación explícita de la base del logaritmo. Logaritmos a la base mi, un número trascendental aproximadamente igual a 2,71828, se llaman natural logaritmos. Se encuentran principalmente en trabajos sobre análisis matemático y sus aplicaciones a diversas ciencias. Los logaritmos naturales también se escriben sin indicar explícitamente la base, pero usando la notación especial ln: por ejemplo, ln2 = 0,6931, porque mi 0,6931 = 2.

Utilizando tablas de logaritmos ordinarios.

El logaritmo regular de un número es un exponente al que se debe elevar 10 para obtener un número determinado. Como 10 0 = 1, 10 1 = 10 y 10 2 = 100, inmediatamente obtenemos que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. para potencias enteras crecientes 10. Asimismo, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 y por lo tanto log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. para todas las potencias enteras negativas 10. Los logaritmos habituales de los números restantes están encerrados entre los logaritmos de las potencias enteras más cercanas de 10; log2 debe estar entre 0 y 1, log20 debe estar entre 1 y 2 y log0.2 debe estar entre -1 y 0. Por lo tanto, el logaritmo consta de dos partes, un entero y un decimal, encerrados entre 0 y 1. parte entera llamada característica logaritmo y está determinado por el número mismo, la parte fraccionaria se llama mantisa y se puede encontrar en las tablas. Además, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. El logaritmo de 2 es 0,3010, por lo que log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De manera similar, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Después de la resta, obtenemos log0.2 = – 0.6990. Sin embargo, es más conveniente representar log0,2 como 0,3010 – 1 o como 9,3010 – 10; También se puede formular una regla general: todos los números obtenidos de un número dado multiplicando por una potencia de 10 tienen mantisas idénticas iguales a la mantisa del número dado. La mayoría de las tablas muestran las mantisas de números en el rango del 1 al 10, ya que las mantisas de todos los demás números se pueden obtener a partir de las que figuran en la tabla.

La mayoría de las tablas dan logaritmos con cuatro o cinco decimales, aunque hay tablas de siete dígitos y tablas con incluso más decimales. La forma más sencilla de aprender a utilizar este tipo de tablas es con ejemplos. Para encontrar log3.59, primero que nada, observamos que el número 3.59 está entre 10 0 y 10 1, por lo que su característica es 0. Buscamos el número 35 (a la izquierda) en la tabla y nos movemos a lo largo de la fila hasta el columna que tiene el número 9 en la parte superior; la intersección de esta columna y la fila 35 es 5551, por lo que log3,59 = 0,5551. Para encontrar la mantisa de un número con cuatro dígitos significativos, debes usar la interpolación. En algunos cuadros, la interpolación se ve facilitada por las proporciones dadas en las últimas nueve columnas en el lado derecho de cada página de los cuadros. Busquemos ahora log736.4; el número 736,4 se encuentra entre 10 2 y 10 3, por lo tanto la característica de su logaritmo es 2. En la tabla encontramos una fila a la izquierda de la cual está 73 y la columna 6. En la intersección de esta fila y esta columna hay el número 8669. Entre las partes lineales encontramos la columna 4. En la intersección de la fila 73 y la columna 4 está el número 2. Sumando 2 a 8669, obtenemos la mantisa: es igual a 8671. Por lo tanto, log736,4 = 2.8671.

Logaritmos naturales.

Las tablas y propiedades de los logaritmos naturales son similares a las tablas y propiedades de los logaritmos ordinarios. La principal diferencia entre ambos es que la parte entera del logaritmo natural no es significativa para determinar la posición de la coma decimal y, por tanto, la diferencia entre la mantisa y la característica no juega un papel especial. Logaritmos naturales de números 5,432; 54,32 y 543,2 son iguales a 1,6923, respectivamente; 3,9949 y 6,2975. La relación entre estos logaritmos será obvia si consideramos las diferencias entre ellos: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; el último número no es más que el logaritmo natural del número 10 (escrito así: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; el último número es 2ln10. Pero 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Así, por el logaritmo natural de un número dado a puedes encontrar los logaritmos naturales de números iguales a los productos del número a para cualquier grado norte números 10 si a ln a sumar ln10 multiplicado por norte, es decir. en( aґ10norte) = iniciar sesión a + norte ln10 = ln a + 2,3026norte. Por ejemplo, ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Por lo tanto, las tablas de logaritmos naturales, como las tablas de logaritmos ordinarios, generalmente contienen solo logaritmos de números del 1 al 10. En el sistema de logaritmos naturales, se puede hablar de antilogaritmos, pero más a menudo se habla de una función exponencial o un exponente. Si X= iniciar sesión y, Eso y = ex, Y y llamado exponente de X(por conveniencia tipográfica, a menudo escriben y= exp. X). El exponente juega el papel del antilogaritmo del número. X.

Usando tablas de logaritmos decimales y naturales, puede crear tablas de logaritmos en cualquier base que no sea 10 y mi. Si inicia sesión b un = X, Eso b x = a, y por lo tanto iniciar sesión c b x= iniciar sesión c un o X registro c b= iniciar sesión c un, o X= iniciar sesión c un/registro c b= iniciar sesión b un. Por lo tanto, usando esta fórmula de inversión de la tabla de logaritmos base C Puedes construir tablas de logaritmos en cualquier otra base. b. Multiplicador 1/log c b llamado módulo de transición desde la base C a la base b. Nada impide, por ejemplo, utilizar la fórmula de inversión o la transición de un sistema de logaritmos a otro, encontrar logaritmos naturales de la tabla de logaritmos ordinarios o realizar la transición inversa. Por ejemplo, log105.432 = iniciar sesión mi 5,432/registro mi 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. El número 0,4343, por el que se debe multiplicar el logaritmo natural de un número dado para obtener un logaritmo ordinario, es el módulo de transición al sistema de logaritmos ordinarios.

Mesas especiales.

Los logaritmos se inventaron originalmente para que, utilizando sus propiedades log ab= iniciar sesión a+ iniciar sesión b y registrar a/b= iniciar sesión a- registro b, convierte productos en sumas y cocientes en diferencias. En otras palabras, si inicia sesión a y registrar b son conocidos, entonces usando la suma y la resta podemos encontrar fácilmente el logaritmo del producto y el cociente. En astronomía, sin embargo, a menudo se dan valores de log a y registrar b necesito encontrar el registro ( a + b) o iniciar sesión ( a – b). Por supuesto, primero se podría encontrar en tablas de logaritmos a Y b, luego realice la suma o resta indicada y, nuevamente consultando las tablas, encuentre los logaritmos requeridos, pero tal procedimiento requeriría consultar las tablas tres veces. Z. Leonelli en 1802 publicó tablas de los llamados. logaritmos gaussianos– logaritmos para sumar sumas y diferencias – lo que permitió limitarse a un acceso a las tablas.

En 1624, I. Kepler propuso tablas de logaritmos proporcionales, es decir. logaritmos de números a/X, Dónde a– algún valor constante positivo. Estas tablas son utilizadas principalmente por astrónomos y navegantes.

Logaritmos proporcionales en a= 1 se llaman cologaritmos y se utilizan en cálculos cuando se tiene que trabajar con productos y cocientes. Cologaritmo de un número norte igual al logaritmo del número recíproco; aquellos. cologio norte= registro1/ norte= – iniciar sesión norte. Si log2 = 0,3010, entonces colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. La ventaja de utilizar cologaritmos es que al calcular el valor del logaritmo de expresiones como pq/r triple suma de decimales positivos log pag+ iniciar sesión q+cologo r es más fácil de encontrar que el registro mixto de suma y diferencia pag+ iniciar sesión q- registro r.

Historia.

El principio subyacente a cualquier sistema de logaritmos se conoce desde hace mucho tiempo y se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas (alrededor del año 2000 a. C.). En aquellos días, para calcular el interés compuesto se utilizaba la interpolación entre valores de tabla de potencias enteras positivas de números enteros. Mucho más tarde, Arquímedes (287-212 a. C.) utilizó potencias de 108 para encontrar un límite superior en la cantidad de granos de arena necesarios para llenar completamente el Universo entonces conocido. Arquímedes llamó la atención sobre la propiedad de los exponentes que subyace a la eficacia de los logaritmos: el producto de potencias corresponde a la suma de los exponentes. Al final de la Edad Media y principios de la era moderna, los matemáticos comenzaron a recurrir cada vez más a la relación entre progresiones geométricas y aritméticas. M. Stiefel en su ensayo Aritmética de enteros(1544) dio una tabla de potencias positivas y negativas del número 2:

Stiefel notó que la suma de los dos números en la primera fila (la fila de exponentes) es igual al exponente de dos correspondiente al producto de los dos números correspondientes en la fila inferior (la fila de exponentes). En relación con esta tabla, Stiefel formuló cuatro reglas equivalentes a las cuatro reglas modernas para operaciones con exponentes o a las cuatro reglas para operaciones con logaritmos: la suma de la línea superior corresponde al producto de la línea inferior; la resta en la línea superior corresponde a la división en la línea inferior; la multiplicación en la línea superior corresponde a la exponenciación en la línea inferior; la división en la línea superior corresponde al enraizamiento en la línea inferior.

Al parecer, reglas similares a las de Stiefel llevaron a J. Naper a introducir formalmente en su obra el primer sistema de logaritmos. Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos., publicado en 1614. Pero los pensamientos de Napier estaban ocupados con el problema de convertir productos en sumas desde entonces, más de diez años antes de la publicación de su trabajo, Napier recibió noticias de Dinamarca de que en el Observatorio Tycho Brahe sus asistentes tenían un método que hacía Es posible convertir productos en sumas. El método discutido en el mensaje que recibió Napier se basó en el uso de fórmulas trigonométricas como

por tanto, las tablas de Naper consistían principalmente en logaritmos de funciones trigonométricas. Aunque el concepto de base no fue incluido explícitamente en la definición propuesta por Napier, el papel equivalente a la base del sistema de logaritmos en su sistema lo desempeñaba el número (1 – 10 –7)´10 7, aproximadamente igual a 1/ mi.

Independientemente de Naper y casi simultáneamente con él, J. Bürgi inventó y publicó en Praga un sistema de logaritmos, de tipo bastante similar, publicado en 1620. Tablas de progresión aritmética y geométrica.. Estas eran tablas de antilogaritmos en base (1 + 10 –4) ґ10 4, una aproximación bastante buena del número mi.

En el sistema de Naper, el logaritmo del número 10 7 se tomaba como cero y, a medida que los números disminuían, los logaritmos aumentaban. Cuando G. Briggs (1561-1631) visitó Napier, ambos coincidieron en que sería más conveniente utilizar el número 10 como base y considerar el logaritmo de uno como cero. Luego, a medida que los números aumentaran, sus logaritmos aumentarían. Así obtuvimos el moderno sistema de logaritmos decimales, cuya tabla publicó Briggs en su obra Aritmética logarítmica(1620). Logaritmos a la base mi, aunque no son exactamente los introducidos por Naper, a menudo se les llama Naper. Briggs propuso los términos "característica" y "mantisa".

Los primeros logaritmos, por razones históricas, utilizaban aproximaciones a los números 1/ mi Y mi. Un poco más tarde, la idea de los logaritmos naturales empezó a asociarse con el estudio de áreas bajo una hipérbola. xy= 1 (Figura 1). En el siglo 17 se demostró que el área delimitada por esta curva, el eje X y ordenadas X= 1 y X = a(en la Fig. 1 esta área está cubierta con puntos más dispersos y en negrita) aumenta en la progresión aritmética cuando a aumenta exponencialmente. Es precisamente esta dependencia la que surge en las reglas para operaciones con exponentes y logaritmos. Esto dio lugar a llamar a los logaritmos de Naperia "logaritmos hiperbólicos".

Función logarítmica.

Hubo un tiempo en que los logaritmos se consideraban únicamente como un medio de cálculo, pero en el siglo XVIII, principalmente gracias al trabajo de Euler, se formó el concepto de función logarítmica. Gráfica de tal función. y= iniciar sesión X, cuyas ordenadas aumentan en progresión aritmética, mientras que las abscisas aumentan en progresión geométrica, se presenta en la Fig. 2, A. Gráfica de una función inversa o exponencial y = e x, cuyas ordenadas aumentan en progresión geométrica y cuyas abscisas aumentan en progresión aritmética, se presentan, respectivamente, en la Fig. 2, b. (Curvas y= iniciar sesión X Y y = 10X similar en forma a las curvas y= iniciar sesión X Y y = ex.) También se han propuesto definiciones alternativas de la función logarítmica, p.e.

kpi; y, de manera similar, los logaritmos naturales del número -1 son números complejos de la forma (2 k + 1)Pi, Dónde k– un número entero. Afirmaciones similares son válidas para los logaritmos generales u otros sistemas de logaritmos. Además, la definición de logaritmos se puede generalizar utilizando las identidades de Euler para incluir logaritmos complejos de números complejos.

El análisis funcional proporciona una definición alternativa de función logarítmica. Si F(X) – función continua de un número real X, teniendo las siguientes tres propiedades: F (1) = 0, F (b) = 1, F (ultravioleta) = F (tu) + F (v), Eso F(X) se define como el logaritmo del número X Residencia en b. Esta definición tiene una serie de ventajas sobre la definición dada al principio de este artículo.

Aplicaciones.

Los logaritmos se utilizaron originalmente únicamente para simplificar los cálculos y esta aplicación sigue siendo una de las más importantes. El cálculo de productos, cocientes, potencias y raíces se ve facilitado no sólo por la amplia disponibilidad de tablas de logaritmos publicadas, sino también por el uso de las llamadas. regla de cálculo: una herramienta computacional cuyo principio de funcionamiento se basa en las propiedades de los logaritmos. La regla está equipada con escalas logarítmicas, es decir. distancia del número 1 a cualquier número X elegido para ser igual a log X; Al desplazar una escala con respecto a otra, es posible trazar sumas o diferencias de logaritmos, lo que permite leer directamente en la escala los productos o cocientes de los números correspondientes. También puedes aprovechar las ventajas de representar números en forma logarítmica. papel logarítmico para trazar gráficos (papel con escalas logarítmicas impresas en ambos ejes de coordenadas). Si una función satisface una ley potencial de la forma y = kxn, entonces su gráfica logarítmica parece una línea recta, porque registro y= iniciar sesión k + norte registro X– ecuación lineal con respecto a log y y registrar X. Por el contrario, si la gráfica logarítmica de alguna dependencia funcional parece una línea recta, entonces esta dependencia es potencia. El papel semilogarítmico (donde el eje y tiene una escala logarítmica y el eje x tiene una escala uniforme) es útil cuando necesitas identificar funciones exponenciales. Ecuaciones de la forma y = kb rx Ocurre siempre que una cantidad, como una población, una cantidad de material radiactivo o un saldo bancario, disminuye o aumenta a una tasa proporcional a la cantidad de población, material radiactivo o dinero actualmente disponible. Si se traza tal dependencia en papel semilogarítmico, la gráfica se verá como una línea recta.

La función logarítmica surge en relación con una amplia variedad de formas naturales. Las flores de las inflorescencias de girasol están dispuestas en espirales logarítmicas, las conchas de los moluscos están retorcidas. Nautilo, cuernos de oveja montesa y picos de loro. Todas estas formas naturales pueden servir como ejemplos de una curva conocida como espiral logarítmica porque, en un sistema de coordenadas polares, su ecuación es r = aebq, o en r= iniciar sesión a + bq. Tal curva está descrita por un punto en movimiento, cuya distancia desde el polo aumenta en progresión geométrica, y el ángulo descrito por su vector de radio aumenta en progresión aritmética. La ubicuidad de tal curva, y por tanto de la función logarítmica, queda bien ilustrada por el hecho de que ocurre en áreas tan distantes y completamente diferentes como el contorno de una leva excéntrica y la trayectoria de algunos insectos que vuelan hacia la luz.

¿Qué es un logaritmo?

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¿Qué es un logaritmo? ¿Cómo resolver logaritmos? Estas preguntas confunden a muchos graduados. Tradicionalmente, el tema de los logaritmos se considera complejo, incomprensible y aterrador. Especialmente ecuaciones con logaritmos.

Esto es absolutamente falso. ¡Absolutamente! ¿No me crees? Bien. Ahora, en sólo 10 - 20 minutos usted:

1. Lo entenderás que es un logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda una clase de ecuaciones exponenciales. Incluso si no has oído nada sobre ellos.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Además, para ello sólo necesitarás conocer la tabla de multiplicar y cómo elevar un número a una potencia…

Siento que tienes dudas... Bueno, está bien, ¡marca el tiempo! ¡Ir!

Primero, resuelve esta ecuación en tu cabeza:

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

log a r b r = log a b o iniciar sesión= iniciar sesión a r b r

El valor del logaritmo no cambiará si la base del logaritmo y el número bajo el signo del logaritmo se elevan a la misma potencia.

Bajo el signo del logaritmo solo pueden estar números positivos y la base del logaritmo no es igual a uno.

Ejemplos.

1) Compare log 3 9 y log 9 81.

log 3 9=2, ya que 3 2 =9;

log 9 81=2, ya que 9 2 =81.

Entonces log 3 9 = log 9 81.

Tenga en cuenta que la base del segundo logaritmo es igual al cuadrado de la base del primer logaritmo: 9=3 2, y el número bajo el signo del segundo logaritmo es igual al cuadrado del número bajo el signo del primero logaritmo: 81=9 2. Resulta que tanto el número como la base del primer logaritmo log 3 9 se elevaron a la segunda potencia, y el valor del logaritmo no cambió de esto:

A continuación, desde la extracción de la raíz. norte grado de entre A es el aumento de un numero A al grado ( 1/n), luego de log 9 81 puedes obtener log 3 9 tomando la raíz cuadrada del número y la base del logaritmo:

2) Verifique la igualdad: log 4 25=log 0,5 0,2.

Veamos el primer logaritmo. Sacando la raíz cuadrada de la base. 4 y de entre 25 ; obtenemos: log 4 25=log 2 5.

Veamos el segundo logaritmo. Base logarítmica: 0,5= 1/2. El número bajo el signo de este logaritmo: 0,2= 1/5. Elevemos cada uno de estos números a la primera potencia menos:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Entonces log 0,5 0,2 = log 2 5. Conclusión: esta igualdad es cierta.

Resuelve la ecuación:

registro 4 x 4 + registro 16 81 = registro 2 (5x+2). Reduzcamos logaritmos de izquierda a base. 2 .

iniciar sesión 2 x 2 + iniciar sesión 2 3 = iniciar sesión 2 (5x+2). Saca la raíz cuadrada del número y la base del primer logaritmo. Extrae la raíz cuarta del número y la base del segundo logaritmo.

registro 2 (3x 2) = registro 2 (5x+2). Convierte la suma de logaritmos al logaritmo del producto.

3x2=5x+2. Recibido después de la potenciación.

3x2-5x-2=0. Resolvemos una ecuación cuadrática usando la fórmula general para una ecuación cuadrática completa:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 raíces reales.

Examen.

x=2.

registro 4 2 4 + registro 16 81 = registro 2 (5∙2+2);

registro 2 2 2 + registro 2 3 = registro 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

registro 2 12 = registro 2 12;

iniciar sesión a n b=(1/ norte)∙ iniciar sesión

Logaritmo de un número b Residencia en un igual al producto de la fracción 1/ norte al logaritmo de un número b Residencia en a.

Encontrar:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , si se sabe que registro 2 3=b,iniciar sesión 5 2=c.

Solución.

Resolver ecuaciones:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Solución.

Reduzcamos estos logaritmos a base 2. Apliquemos la fórmula: iniciar sesión a n b=(1/ norte)∙ iniciar sesión

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Aquí hay términos similares:

(1+0,5+0,25) log2x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

iniciar sesión 2x=3. Por definición de logaritmo:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Solución. Convertimos el logaritmo de base 16 a base 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Convirtamos la suma de logaritmos en el logaritmo del producto.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x2-2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Por definición de logaritmo:

x2-5x+4=0. Según el teorema de Vieta:

x1 =1; x2=4. El primer valor de x no funcionará, ya que en x = 1 los logaritmos de esta igualdad no existen, porque Sólo los números positivos pueden estar bajo el signo del logaritmo.

Comprobemos esta ecuación en x=4.

Examen.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmo de un número b Residencia en A igual al logaritmo del número b sobre una nueva base Con, dividido por el logaritmo de la base antigua A sobre una nueva base Con.

Ejemplos:

1) log2 3=lg3/lg2;

2) registro 8 7=ln7/ln8.

Calcular:

1) iniciar sesión 5 7, si se sabe que lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

C b / registro C a.

registro 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

Respuesta: iniciar sesión 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) iniciar sesión 5 7 , si se sabe que ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Solución. Aplicar la fórmula: log a b =log C b / registro C a.

Iniciar sesión 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

Respuesta: iniciar sesión 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Encuentra x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Usamos la fórmula: iniciar sesión C b / registro C un = iniciar sesión . Obtenemos:

iniciar sesión 3 x = iniciar sesión 3 4 + iniciar sesión 3 6 + iniciar sesión 3 8;

iniciar sesión 3 x = iniciar sesión 3 (4∙6∙8);

log3x=log3192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Usamos la fórmula: iniciar sesión C b / registro C un = iniciar sesión a b . Obtenemos:

iniciar sesión 7 x = lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

iniciar sesión 7 x=lg143-lg (11∙13);

iniciar sesión 7 x=lg143-lg143;

x=1.

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